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listas:prova2 [24/05/2010 22:47] tjpp |
listas:prova2 [25/05/2010 00:57] (atual) tjpp |
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| Linha 5: | Linha 5: | ||
| ====== 2ª Prova ====== | ====== 2ª Prova ====== | ||
| - | - Considere um gás de partículas clássicas que se movem apenas na superfície de uma esfera. Escreva a Hamiltoniana de uma partícula livre nestas condições, em função de $p_\theta$ e $p_\phi$. Escreva a função partição de partícula única $\zeta$. Encontre a energia média e a pressão de um gás de $N$ partículas. (Dica: $\vec{r}=r \sin \theta \cos\phi \,\hat{x} + r \sin\theta \sin\phi\, \hat{y} + r \cos \theta \,\vec{z}$ ) | + | ===== 1ª Questão ===== |
| - | - Os níveis de energia de um rotor rígido, de momento de inércia $I$, em 3 dimensões, são dados por $E=\hbar 2J(J+1)/2I$, com degenerescência $2J+1 (M=-J,-J+1,\dots,J-1,J)$. Considere um gás de $N$ rotores. Escreva a função de partição e calcule a energia média em função da temperatura. Obtenha o limite de altas temperaturas para verificar se seu resultado está correto. | + | Considere um gás de partículas clássicas que se movem apenas na superfície de uma esfera. Escreva a Hamiltoniana de uma partícula livre nestas condições, em função de $p_\theta$ e $p_\phi$. Escreva a função partição de partícula única $\zeta$. Encontre a energia média e a pressão de um gás de $N$ partículas. (Dica: $\vec{r}=r \sin \theta \cos\phi \,\hat{x} + r \sin\theta \sin\phi\, \hat{y} + r \cos \theta \,\vec{z}$ )\\ |
| - | - Considere um arranjo de $N$ átomos de spin $1/2$, na presença de um campo magnético $H$, em contato com um banho térmico à temperatura $T$. Encontre a magnetização média e a entropia em função da temperatura. Encontre os valores limites da magnetização para baixas e altas temperaturas. | + | * A hamiltoniana pode ser escrita como \[H=E=\frac{p^2_\theta}{2m r^2} + \frac{p^2_\phi}{2m r^2 \sin^2 \theta}\] |
| - | - Encontre a distribuição de velocidades $F(v)$ de um gás ideal clássico, a temperatura constante $T$. Esboce o gráfico. | + | * A função partição será \[ \zeta=\int e^{-\beta H} d\theta \,d\phi\, dp_\theta\, dp_\phi\] |
| + | * Para o cálculo de $\zeta$ temos duas integrais gaussianas em $dp_\theta\, dp_\phi$ | ||
| + | * \[\zeta = (2\pi\, m r^2/\beta)^{1/2} \int(2\pi\, m r^2 \sin^2 \theta/\beta)^{1/2} d\theta d\phi = (2\pi\, mr^2/\beta) \int_0^\pi \sin\theta d\theta d\phi = 2\pi m/\beta\; A\] onde A é a área da esfera. | ||
| + | * A energia média e a pressão serão \[\overline{E}=-N \frac{\partial}{\partial \beta}\ln \zeta = NkT \qquad\qquad\qquad\qquad P= N \frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial A}\ln \zeta = \frac{NkT}{A}\] | ||
| + | ===== 2ª Questão ===== | ||
| + | Os níveis de energia de um rotor rígido, de momento de inércia $I$, em 3 dimensões, são dados por $E=\hbar^2 J(J+1)/2I$, com degenerescência $2J+1 (M=-J,-J+1,\dots,J-1,J)$. Considere um gás de $N$ rotores. Escreva a função de partição e calcule a energia média em função da temperatura. Obtenha o limite de altas temperaturas para verificar se seu resultado está correto. | ||
| + | * \[ \zeta= \sum_J (2J + 1) \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right) \] | ||
| + | * A energia média será \[ \overline{E}=\frac{\sum_J (2J+1)\,\hbar^2 J(J+1)/2I\; \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right)}{\sum_J (2J + 1) \exp\left(-\beta \,\hbar^2 J(J+1)/2I\right)}\] | ||
| + | * Em altas temperaturas podemos substituir a soma por uma integral \[ \zeta = \int_0^\infty (2j+1) \;\exp\left( -\frac{\beta\hbar^2}{2I} j(j+1) \right) dj =\frac{2I}{\hbar^2}{kT} \] | ||
| + | * Logo $\overline{E}=NkT$ | ||
| + | ===== 3ª Questão ===== | ||
| + | Considere um arranjo de $N$ átomos de spin $1/2$, na presença de um campo magnético $H$, em contato com um banho térmico à temperatura $T$. Encontre a magnetização média e a entropia em função da temperatura. Encontre os valores limites da magnetização para baixas e altas temperaturas. | ||
| + | * \[\zeta = e^{\beta \mu H} + e^{-\beta\mu H}\] | ||
| + | * \[ m = \left(\frac{1}{\zeta}\right) \mu e^{\beta\mu H} -\mu e^{-\beta \mu H} = \mu \tanh{\mu H \over kT}\] | ||
| + | * \[ s = k \left( \ln \zeta + \beta \overline{\epsilon} \right) = k \left[ \ln \left(2 \cosh{ \mu H \over kT }\right) - {\mu H \over kT } \tanh{\mu H \over kT} \right]\] | ||
| + | * em altas temperaturas $x={\mu H \over kT}$ pequeno $\rightarrow\tanh(x)\approx x $; logo \[ m \approx {\mu^2 H \over kT} \] | ||
| + | * em baixas temperaturas \[ m \approx \mu \] | ||
| + | ===== 4ª Questão ===== | ||
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| + | Encontre a distribuição de velocidades $F(v)$ de um gás ideal clássico, a temperatura constante $T$. Esboce o gráfico. | ||
| + | * Seja $f(\vec{r},\vec{v})$ o número de partículas por unidade de volume, com posição entre $\vec{r}$ e $\vec{r}+d\vec{r}$ e velocidades entre $\vec{v}$ e $\vec{v}+d\vec{v}$. \[ f(\vec{r},\vec{v}) = C N e^{-\beta {mv^2 \over 2}} d^3\vec{r}\,d^3\vec{v}\] | ||
| + | * $C$ é obtido, integrando $f$ para todos os valores de $\vec{r},\vec{v}$ \[ f(\vec{r},\vec{v}) = n \left( {m \over 2\pi kT} \right)^{3 \over 2} e^{-\beta {mv^2 \over 2}} d^3\vec{r}\,d^3\vec{v} \] | ||
| + | * A função desejada é \[ F(v) dv = 4\pi v^2 f(v) dv = 4 \pi n \left( {m \over 2\pi kT} \right)^{3 \over 2} v^2 e^{-\beta {mv^2 \over 2}} dv \] | ||
| + | * {{ http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/MaxwellBoltzmann-en.svg/1000px-MaxwellBoltzmann-en.svg.png?750 }} | ||
